Was gibt die Grenzkostenfunktion an und wie berechnet man sie?

Die Grenzkostenfunktion ist ein wichtiges Hilfsmittel zur Bestimmung der optimalen Produktionsmenge. Mit ihr lassen sich Aussagen darüber treffen, wie hoch die Kosten für die Produktion einer bestimmten Anzahl an Produkten ist. Sie trägt zur Kosteneinsparung und zur Gewinnmaximierung in einem Unternehmen bei. Hier erfahren Sie, wie man die Grenzkostenfunktion ermittelt und wie sie mit anderen Kenngrößen zusammenhängt.

Grenzkostenfunktion: Bedeutung

Die Grenzkostenfunktion gibt an, welche Kosten entstehen, wenn von einem Produkt eine Einheit mehr produziert wird. Im Umkehrschluss: Produziert man eine Einheit weniger, sinken die Grenzkosten und man spricht von einer Kostenreduktion.

Trägt man die Gesamtkosten eines Unternehmens in ein Diagramm ein, auf dessen horizontaler Achse die Menge an produzierten Einheiten aufgetragen sind und auf der vertikalen Achse die Grenzkosten, erhält man eine Kurve. Deren Steigung gibt dann die Grenzkosten an.

Mit Hilfe der Grenzkostenfunktion kann ein Unternehmen also berechnen, welche zusätzlichen Kosten entstehen würden, wenn von einem Produkt mehr produziert wird. Die Funktion ist deshalb wichtig, wenn es um Entscheidungen geht, ob man die Produktion ausweiten soll oder nicht. Das Unternehmen kann auf diese Weise seine optimale Produktionsmenge berechnen, bei der einerseits der Gewinn maximal ist und andererseits die Produktionskosten minimal.

Formel für die Grenzkostenfunktion

Zuerst Gesamtkosten ermitteln

Um die Grenzkosten zu ermitteln, müssen zuerst die Gesamtkosten des Unternehmens ermittelt werden. Dies gelingt über die Gesamtkostenfunktion. In der Realität ist sie selten linear, doch der Einfachheit halber gehen wir in dieser Erklärung von einem linearen Zusammenhang zwischen Gesamtkosten und Produktionsmenge aus. Die Formel für die Gesamtkosten sieht dann so aus:

K(x) = VK · x + FK

Dabei sind VK die variablen Kosten, FK die Fixkosten und x die Ausbringungsmenge des Produkts, also die Anzahl der zu produzierenden Einheiten.

Über Ableitung Grenzkostenfunktion bestimmen

Um die Grenzkosten zu ermitteln, bildet man von der Gesamtkostenfunktion die erste Ableitung. Man erhält dann die Grenzkostenfunktion, die in einer Formel ausgedrückt so aussieht:

GK(x) = K‘(x) = VK

Sind die Gesamtkosten also linear, entsprechen die Grenzkosten den variablen Kosten.

Zusammenhang zwischen Grenzkosten und Durchschnittskosten

Die Durchschnittskosten werden auch Stückkosten genannt, da sie die durchschnittlichen Kosten pro produziertem Stück angeben. Man berechnet die Durchschnittskosten, indem man die Gesamtkosten durch die Stückmenge teilt:

DK(x) = K(x) / x

Trägt man die Durchschnittskosten und die Grenzkosten in ein Diagramm ein, schneidet die Grenzkostenfunktion die Durchschnittskostenfunktion immer im Extremum (höchstem Punkt der Kurve).

Dies kann so interpretiert werden: Bei geringer Stückmenge sind die Grenzkosten niedriger als die totalen Durchschnittskosten, da am Anfang die Grenzkosten nur von den variablen Kosten abhängen. Da die Durchschnittskosten jedoch auch die Fixkosten enthalten, sinken sie mit steigender Produktionsmenge, weil auch die Fixkosten sinken.

Zusammenhang zwischen Grenzkostenfunktion und Angebotsfunktion

Bildet man die Umkehrfunktion der Grenzkostenfunktion, erhält man die Angebotsfunktion.

Hier ein Beispiel, wenn die Grenzkostenfunktion linear ist:

GK(x)= y = 2x + 0.5

Nach x auflösen, ergibt:

x = (y – 0.5) / 2

Vertauschen von x und y ergibt:

y = (x – 0.5) / 2

Die Funktion y entspricht der Angebotsfunktion:

A(x) = y = (x – 0.5) / 2

Die Angebotsfunktion lässt sich so interpretieren: Der Preis A(x) eines Produkts ist abhängig von der angebotenen Menge x des Produkts.

Beispiel für die Berechnung der Grenzkosten

Ein Imbissbesitzer verkauft an seinem Stand Pommes. Die Fixkosten betragen 500€ pro Monat. Für die Zubereitung einer Portion Pommes fallen variable Kosten in Höhe von 1€ an. Mit einer Packung Pommes kann er 10 Portionen herstellen. Eine Packung Pommes kostet 5€. Der Lieferant des Imbissbesitzers gewährt ihm ab der 20. Packung Pommes einen Mengenrabatt von 1€ pro Packung vom Ursprungspreis. Der Preis ab der 20. Packung beträgt dann also nur noch 4€.

Wir gehen von einer linearen Kostenfunktion aus, das heißt Fixkosten und variable Kosten verhalten sich linear zueinander. Die Fixkosten von 500€ pro Monat sind unabhängig von der verkauften Anzahl an Pommesportionen: Sie fallen auch an, wenn der Imbissbesitzer nichts verkauft.

Für die Herstellung einer Portion Pommes fallen also Fixkosten an plus die variablen Kosten für eine Menge Pommes:

GK = 500€ + 1€ = 501€

Für 10 Portionen sind es:

GK = 500€ + 10x1€ = 510€

Und für 190 Portionen sind es:

GK = 500€ + 190x1€ = 690€

Rechnet der Imbissbesitzer damit, dass er mehr als 200 Portionen pro Monat verkauft, bestellt er bei seinem Lieferanten mehr als 19 Packungen. Das heißt, dann greift der Mengenrabatt, wodurch sich die Kosten für die Zubereitung einer Portion von 1€ auf 0.90€ reduziert. Bereitet der Imbissbesitzer 200 Portionen pro Monat zu, sieht die Kostenfunktion so aus:

GK = 500€ + 190x1€ + 10x0.9€ = 699€

Erreichen der Kapazitätsgrenze

Das Geschäft des Imbissbesitzers läuft hervorragend und seine Kundschaft fragt mehr als 250 Portionen pro Monat nach, doch aufgrund der hohen täglichen Nachfrage kommt der Imbissbesitzer mit seiner einzigen Fritteuse kaum mit der Zubereitung nach. Er kann maximal 250 Portionen pro Monat damit zubereiten.

Wenn er mehr zubereiten will, muss er eine zweite Fritteuse kaufen, womit die Fixkosten steigen (höherer Wartungsaufwand, größerer Stromverbrauch, etc.). Zudem muss er auch noch jemanden einstellen, der ihm bei der Zubereitung hilft. Die Gesamtkosten steigen also ab der 251. Portion Pommes, wodurch sich auch die Grenzkosten erhöhen werden.

Fazit: Grenzkostenfunktion zur Gewinnmaximierung

Mit Hilfe der Grenzkostenfunktion finden Unternehmen ihre optimale Produktionsmenge heraus, d.h. wann die höchste Ausbringungsmenge mit zugleich minimalen Kosten erreicht wird. Die Grenzkostenfunktion dient also zur Gewinnmaximierung eines Unternehmens.

Um sie zu ermitteln, muss eine Formel für die Gesamtkosten aufgestellt werden, über die dann die Grenzkosten berechnet werden. In der Praxis ist die Gesamtkostenfunktion selten linear.

Für eine möglichst genaue Bestimmung der Grenzkosten ist es also notwendig, die Zusammenhänge zwischen fixen und variablen Kosten so realistisch wie möglich in der Gesamtkostenfunktion abzubilden. Denn nur dann ist auch die Grenzkostenfunktion realistisch und lässt eine praxisnahe Abschätzung zu.